Geboren 1834 in Wien als Sohn des Direktors der Wiener Münze, ungarischer Abstammung. Kam 1848 nach London und studierte 3 Jahre hauptsächlich im British Museum. Anschließend studierte er in Italien, Paris und Wien.
1856 erhielt Boehm den österreichischen Kaiserpreis für Bildhauerei, der den Beginn seiner erfolgreichen Karriere markierte. Er zog 1862 nach England und erhielt 1865 die britische Staatsbürgerschaft. 1878 wurde er Mitglied der ARA und 1882 in die Royal Academy gewählt. Eines seiner Spezialgebiete war die Portraitbüste, von der es viele Beispiele in der National Portrait Gallery gibt. Er erhielt einen stetigen Strom von Aufträgen für öffentliche Denkmäler, Porträtstatuen und -büsten und wurde auch zum Sculptor in Ordinary von Königin Victoria ernannt. Neben öffentlichen Aufträgen schuf er auch fantasievolle Werke. Später wurde er Dozent für Bildhauerei an der Royal Academy und Mitglied mehrerer ausländischer Akademien.
Während seiner Karriere wurde er häufig von der königlichen Familie und Mitgliedern des Adels beauftragt, für ihre Parks und Gärten zu modellieren. Zu seinen bedeutendsten Werken gehört „St. George and the Dragon“, das vor der State Library of Victoria zu finden ist. Weitere Werke sind das Wellington-Denkmal an der Hyde Park Corner, Lord Beaconsfield und Dean Stanley in Westminster Abbey, Carlyle an der Chelsea Embankment und die liegende Figur von Erzbischof Tait in der Canterbury Cathedral. 1880 schuf er die Steinfigur von Königin Victoria und dem Prince of Wales am Temple Bar Memorial in Fleet Street, für die C. B. Birch den „Griffin“ modellierte. Er schuf auch den Porträtkopf von Königin Victoria für die Münze von 1887.
Sein berühmtester Schüler war Prinzessin Louise, Herzogin von Argyll, Tochter von Königin Victoria. Prinzessin Louise befand sich in seinem Haus in der Fulham Road 76, London, als Boehm am 12. Dezember 1890 plötzlich starb, was zu Spekulationen in der Presse über eine unsubstantiierte sexuelle Beziehung zwischen den beiden führte.